線形変換 – mrd.si

3Dプログラミングや画像処理、GISで出てくるアフィン変換。
これ、線形変換と平行移動を合わせたものです。

平行移動は置いといて、、、線形変換とは？

これ、
行列の掛け算で、座標点が移動してくれる優れものです。
http://d.hatena.ne.jp/Zellij/20120523/p1

行列の積、忘れちゃった場合はこちら。
http://d.hatena.ne.jp/tackngybe/20101109/1289241733

ここでは、2次元平面での、x軸を元にした反転を例に取り上げます。
x軸を元にした反転の、線形変換の行列Aは以下となります。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

座標点 (x, y) = (1, 2) は次のように (x’, y’) に移されます。

$\begin{bmatrix}x' \\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ \\ \\ \\ y \end{bmatrix}$
$\hspace{26} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ \\2 \end{bmatrix}$
$\hspace{26} = \begin{bmatrix} 1*1+0*2 \\ \\ 0*1+(-1)*2 \end{bmatrix}$
$\hspace{26} = \begin{bmatrix} 1 \\ \\ -2 \end{bmatrix}$

確かに、x軸を元に、反転しています。

他にも例を。

y軸を元にした反転
$\begin{bmatrix}x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ \\2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 \\ \\2 \end{bmatrix}$

回転（反時計回り90度）
$\begin{bmatrix}x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ \\2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 \\ \\1 \end{bmatrix}$

拡大（２倍）
$\begin{bmatrix}x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ \\2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ \\4 \end{bmatrix}$

参考ページ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/transform1.htm
表現行列の求め方