基底変換 – mrd.si

ここでは、２次元のベクトル空間での
基底変換について述べます。

任意のベクトルは、平行でない２つのベクトルの
線形結合（ベクトルの定数倍と加算）
として示すことができます。

このとき、定数倍されるベクトルの事を、基底といいます。
一般に使われている直交座標系（デカルト座標系）では、
基底は e1=(1, 0), e2=(0, 1) となります。

例えば、ベクトル (2, 4) は次のように表すことができます。

$\begin{bmatrix} 2 \\ \\ \\ 4 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} 1 \\ \\ \\ 0 \end{bmatrix}+4\begin{bmatrix} 0 \\ \\ \\ 1 \end{bmatrix}$

基底は、必ずしも e1=(1, 0), e2=(0, 1) とは限らないため、
基底を e1=(-1, 1), e2=(2, 1) と取ると、
ベクトル (2, 4) は次のように表すことができます。

$\begin{bmatrix} 2 \\ \\ \\ 4 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} -1 \\ \\ \\ 1 \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix} 2 \\ \\ \\ 1 \end{bmatrix}$

このとき、直交座標系の (x, y) を A と置くと、

$A=x\begin{bmatrix} 1 \\ \\ \\ 0 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} 0 \\ \\ \\ 1 \end{bmatrix}$

基底変更後の A は、次の線形結合で示されます。

$A=x'\begin{bmatrix} p_x \\ \\ \\ p_y \end{bmatrix}+y'\begin{bmatrix} q_x \\ \\ \\ q_y \end{bmatrix}$

Aは同じベクトルを指すため、

$A=x\begin{bmatrix} 1 \\ \\ \\ 0 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} 0 \\ \\ \\ 1 \end{bmatrix}=x'\begin{bmatrix} p_x \\ \\ \\ p_y \end{bmatrix}+y'\begin{bmatrix} q_x \\ \\ \\ q_y \end{bmatrix}$

であり、
行列の積に変形して、
（左辺は単位行列との積ですので、(x, y) になります）

$\begin{bmatrix}1&0\\ \\ \\ 0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ \\ \\ \\ \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_x & q_x \\ \\ \\ p_y & q_y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x' \\ \\ \\ y' \end{bmatrix}$

逆行列を左からかけて、左辺と右辺を入れ替えると、
次の式が得られます。

$\begin{bmatrix} x' \\ \\ \\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p_x & q_x \\ \\ \\ p_y & q_y \end{bmatrix} ^{-1} \ \begin{bmatrix} x \\ \\ \\ \\ \\ y \end{bmatrix}$

この、基底変換の式を用いれば、
ある座標 (x, y) について、
新しい基底、すなわち新しい座標軸での
座標 (x’, y’) を調べることができます。

以上です。

参考資料

基底の計算例については、こちらの例と同じ値を用いました。
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/5112/taikaku.html

基底変換の式変形については、こちらを参考にしました。
http://homepage2.nifty.com/eman/math/linear08.html